Детство Беговича было преисполнено испытаний. Из-за войны его семье пришлось бежать из Боснии в Германию. Вблизи Штутгарта Асмир и начал заниматься футболом. Потом был переезд в Эдмонтон и приглашение в молодежку Канады. Бегович почти согласился играть за сборную страны кленового листа, но в последний момент передумал.
За национальную команду Боснии голкипер впервые сыграл в октябре 2009 года. Ему потребовалось немного времени, чтобы стать первым номером – в отборе на чемпионат мира Асмир с первой и до последней минуты провел все 10 матчей. Так что ни о какой конкуренции со стороны коллег речи быть не может.
Дела клубные у Беговича также идут неплохо. В составе Сток Сити он провел несколько отличных сезонов, после чего попал в сферу интересов ряда европейских клубов. В частности появлялись слухи о возможном переходе стража ворот в мадридский Реал.