Адам Квараси родился в Норвегии и прошел футбольную школу именно в этой стране. Выступал за юношескую команду Валеренги, после чего был подписан Стремсгодсетом, ворота которого защищает последние годы. Имел теоретическую возможность выступать за норвежскую сборную, сыграв один матч за их молодежку. С 2011 года, тем не менее, вызывается в Гану, защищая цвета своей исторической родины.
На время потерял место основного голкипера по ходу отборочного цикла, также будучи запасным и во время последнего Кубка Африки. Тем не менее наставник Квеси Аппиа не сомневается в потенциале этого высокого вратаря, готовя его к роли первого номера на предстоящем чемпионате мира. Несколько лет назад журналист ВВС назвал его потенциальной легендой ганского футбола и редким примером соответствия таланта местного вратаря таланту полевых игроков.