Начинал карьеру в клубе второго хорватского дивизиона Задар, но имя себе сделал в Хайдуке, куда перебрался на правах аренды в 2008 году. Субашич быстро закрепился в составе одного из ведущих клубов страны, после чего команда из Сплита решила выкупить его контракт.
Даниэль стал одним из лучших вратарей Хорватии, начал регулярно вызываться в национальную сборную. Правда.
На сегодняшний день Даниэль является первым номером Монако.